两个高分辨率区域最小二乘类大地水准面模型的方差-协方差分析

　　利用球面径向基函数参数化方法，研究了两种高分辨率区域类大地水准面模型的全方差-协方差(VC)矩阵。模型参数估计采用加权最小二乘技术和方差分量估计(VCE)进行数据加权。第一个模型被称为“RCR模型”，是通过“移除-计算-恢复”方法计算的，结合了各种本地重力和雷达高度计数据集。第二个模型，即“组合模型”，包括goco05卫星全球位势模型作为附加数据集，具有全噪声VC矩阵。通过比较荷兰GPS高度标记的几何和重力高度异常差异的观测和正式噪声标准偏差，验证了每个准大地水准面模型的噪声VC矩阵缩放。对网格节点高度异常的噪声VC矩阵的分析表明，与组合模型相比，RCR模型的形式噪声标准差明显更小。这种差异归因于VCE为goco05数据集分配了更大的权重，对于所使用的特定空间尺度，该数据集显示出更大的噪声标准偏差。此外，与gnss高程相关的高程异常差的形式噪声标准差有利于RCR模型。然而，两种模型之间的差异小于高度异常噪声标准差所暗示的差异。这是由于与RCR模型(17公里)相比，组合模型的噪声自相关函数显示了更长的相关长度(67公里)。因此，与RCR模型相比，组合模型对相对于白噪声的高度异常差异的噪声方差有更大的降低。

　　高分辨率(准)大地水准面模型通常用于国家和大陆尺度，以支持GNSS调平或取代基于精神调平的国家垂直参考面。然而，这些模型的质量往往描述不完整，仅限于与一组高度标记处GNSS/levelling的几何高度异常进行比较，或者仅限于基于输入数据集中过度简化的噪声模型和协方差传播过程中的简化的噪声标准偏差信息(例如，Kearsley 1986;Agren 2004;Voigt et al. 2009;Featherstone et al. 2011;德克2013;Brown et al. 2018)。(准)大地水准面(VC)的全噪声方差协方差(VC)矩阵在提供(准)大地水准面模型质量的全面描述方面发挥了至关重要的作用，并且作为质量控制和进一步数据处理的先决条件具有重要意义，但尚未发表或分析。

　　在本文中，我们的目标是通过分析两种不同的准大地水准面模型的全噪声VC矩阵来解决这个问题，这些模型是从E和E以及N和N之间的区域计算出来的，包括荷兰大陆、大陆架和瓦登群岛。第一种解决方案是使用传统的删除-计算-恢复(RCR)技术进行计算的，本文将其称为RCR解决方案。第二种解决方案使用全噪声VC矩阵的卫星全球位势模型(GGM)作为RCR解决方案计算中使用的高分辨率数据集的附加数据集。这个解被称为组合解。我们使用加权最小二乘和方差分量估计(VCE)来估计每个解决方案的模型参数。然后，我们使用协方差传播定律计算模型参数的全噪声VC矩阵。

　　特别注意定义所有输入数据集的噪声VC矩阵，包括几个高分辨率数据集，如机载重力扰动，陆地和船上重力异常，以及根据瞬时动态地形校正的雷达高度计海面高度的沿航迹高度异常差。对于地面重力异常，我们通过为每个数据集添加一个偏差参数来扩展功能模型，以考虑系统和随机误差。Klees等人(2017,2018)讨论了RCR和组合解的模型参数估计方法;在Slobbe(2013)中讨论了雷达高度计瞬时海面高度的预处理，在Farahani等人(2017)中讨论了降低雷达高度计海面高度的高度异常差的噪声模型，在Slobbe等人(2019)中提出并分析了本研究中考虑的两个准大地水准面模型。

　　本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要介绍了本研究中使用的残余干扰势的球面径向基函数模型，并概述了参数估计过程。虽然RCR解的协方差传播是直接的，但由于估计的粗尺度和细尺度模型参数的交叉协方差矩阵不消失，因此它不适合组合解。我们在第3节推导了交叉协方差矩阵的表达式。在第4节中，我们总结了本研究中使用的数据集和随机模型。在第5节中，我们验证了残差干扰势和衍生线性泛函的两个噪声VC矩阵的适当缩放。最后，我们在第6节中对一组高度异常的全噪声VC矩阵进行了分析。我们通过总结主要发现和讨论数据集的随机模型来总结本文，这在第7节中进行了详细阐述。

　　RCR解决方案采用残余干扰电位的单尺度球面径向基函数(SRBF)模型;

　　（1）

　　这里的“残余扰动势”是指地球重力势与正常重力势(完成到280度的正则化goco05模型)与RTM重力势之和的差值。选择带中心的SRBFs来解析数据中存在的所有波长，直至高分辨率数据集所解析的最精细尺度。模型参数估计采用加权最小二乘和方差分量估计(VCE)进行数据加权。估计模型为

　　（2)

　　此外，利用协方差传播规律，从输入数据集的噪声VC矩阵中计算出估计模型参数的全噪声VC矩阵。

　　组合解决方案需要使用双尺度SRBF模型(cf. Klees et al. 2017)。

　　（3）

　　是表示粗尺度的低分辨率模型，并将粗尺度模型无法分辨的细尺度添加到高分辨率数据集允许分辨的细尺度。为简单起见，我们分别称之为粗尺度模型和细尺度模型。使用Klees et al.(2017)的方法依次估计粗尺度和细尺度模型参数。首先，利用模型参数将goco05从151度到280度恢复到Eq.(1)的估计模型，应用低通滤波器，在低分辨率n点Reuter网格(Reuter 1982)上合成高度异常，形成第一个低分辨率数据集;

　　（4）

　　为点处计算的高度异常泛函，P为低通滤波器，为球面卷积。严格应用协方差传播规律计算相关噪声VC矩阵。第二个低分辨率数据集是在相同的路透社网格上计算的，来自低通滤波的GOCO05s模型

　　（5）

　　式中为仅卫星GGM计算得到的扰动势，即地球重力势与正常重力势(正则化goco05完备至150度)和RTM重力势之和之差。为了计算该数据集的全噪声VC矩阵，我们首先从GOCO05s正态方程矩阵N和正则化正态方程矩阵逆计算正则化GOCO05s模型的噪声VC矩阵，然后应用协方差传播定律。其次，对两个低分辨率数据集进行了分析。(4)和(5)用于残差扰动电位的低分辨率SRBF模型参数估计;

　　（6）

　　使用加权最小二乘和VCE进行数据加权。图中为低通滤波SRBF，中心;选择这些中心来解析低分辨率数据集中出现的所有信号。估计的模型和参数分别表示为和。使用高通滤波器对带有模型参数的估计高分辨率模型进行滤波，其中I为全通滤波器，P为公式中的低通滤波器。(4)和(5)，对残余干扰电位的精细尺度进行估计;

　　（7）

　　注意，模型参数和总是被认为是确定性的数量。因此，当对正态矩阵进行Tikhonov正则化时，估计的模型参数的噪声VC矩阵计算为，其中N为正态矩阵，为正则化的正态矩阵。

　　由式(3)可知，残差扰动电位的二尺度SRBF模型的最终估计为

　　（8）

　　感兴趣的读者可以参考Slobbe等人(2019)，详细描述了SRBF和低通滤波器P的选择、两个SRBF网络的设计、双尺度SRBF模型的顺序估计以及VCE的结果。

　　残差干扰势(Eq.(2))或(Eq.(8))的线性泛函的任意向量的噪声VC矩阵，可以分别应用于和的协方差传播定律得到。虽然这一定律的应用很简单，但在应用协方差传播定律时，有必要考虑到估计和也是相关的。这种相关性的产生是因为低分辨率数据集(Eq.(4))，它是模型参数估计的数据集之一，也依赖于根据Eq的估计。(1)、(4)。

　　为了推导出两个估计和之间的交叉协方差矩阵的表达式，我们假设和表示它们的噪声VC矩阵。我们定义一组点，例如，覆盖模型域的等角网格的节点。我们对高度异常的噪声VC矩阵感兴趣

　　(9)

　　Eq.(9)的高度异常形成一个向量。然后，使用方程。(3)和(9)，我们可以写信

　　(10）

　　是矩阵，并且是矩阵。的-行分别由值、、和组成。这直接从等式中得出。(6)、(7)、(8)。向量的噪声VC矩阵由应用于Eq.(10)的协方差传播规律得到:

　　（11）

　　式中为与的交叉协方差矩阵，为与的交叉协方差矩阵。与

　　（12）

　　我们可以把(11)式写成

　　（13）

　　项，和分别是参数向量和之间的粗尺度、细尺度和协方差的贡献。为了计算Eq.(12)，我们需要一个交叉协方差矩阵的表达式，而对于后者，我们需要观测方程来估计粗尺度模型参数。它们可以写成(参见等式)。(4)、(5)、(6)

　　（14）

　　或者在矩阵向量表示法中，

　　（15）

　　数据向量可以写成

　　（16）

　　其中矩阵的行包含值。向量的元素由Eq.(5)给出，向量的噪声VC矩阵为

　　(17)

　　其中和分别为数据向量和的噪声VC矩阵。

　　则加权最小二乘估计可表示为

　　（18）

　　在哪里

　　（19）

　　为与粗尺度模型参数向量估计相关的正则化正态矩阵，为正则化矩阵，为正则化参数(我们假设应用了正则化;如果不是，)。将协方差传播规律应用于Eq.(18)，考虑到其中提供了交叉协方差矩阵的表达式，

　　（20）

　　当使用Klees等人(2018)建议的带正则化的加权最小二乘估计器的无反转公式时，Eq.(18)必须替换为

　　(21)

　　其中和为正则化参数(详见Klees et al.(2018))。在这种情况下，为了推导出交叉协方差矩阵的表达式，我们定义了一个矩阵

　　(22)

　　可以将式(21)写成

　　（23）

　　使用分区

　　(24)

　　其中和是矩阵，我们可以这样写

　　(25)

　　那么，交叉协方差矩阵直接由方程得出。(16)、(25

　　（26）

　　用方程式。(12)和(26)，我们可以计算Eq.(13)的噪声VC矩阵。

　　我们想强调的是，本研究中分析的所有噪声VC矩阵仅代表随机噪声的影响，不包括在估计参数向量和时应用正则化引入的偏差。

　　对图1中红框所示的特定感兴趣区域计算RCR模型和组合模型。该图还显示了计算中使用的不同类型的本地高分辨率数据集，即411,947个沿航迹高度异常差，这些数据来自多个雷达高度计任务的瞬时海面高度，并根据高分辨率水动力模型的瞬时动态地形进行了校正(详见Farahani et al. 2017);455,335个地表重力异常;8205空中重力扰动;94,137个船载重力异常和7179个空间插值重力异常，以填补荷兰和比利时沿海没有数据的小区域。用于组合模型计算的GGM数据集基于正则化的GOCO05s球谐模型(mayer - g

　　rr et al. 2015)。根据Klees等人(2017,2018)开发的数据组合方法，GGM数据集包括一组从低通滤波goco05模型获得的高度异常。低通滤波器的谱域模拟是Tukey滤波器，具有从球面谐波度2到150的平坦通带，从151度到230度的余弦锥形过渡带和230度以上的阻带。因此，在模式域的中纬度，分辨率波长大于160公里。由于低通滤波器的过渡带，110 ~ 160 km之间的波长部分在内，部分在外。关于数据集的更多细节可以在Slobbe (2013)， Farahani等人(2017)和Slobbe等人(2019)中找到。Eq.(4)和(5)的观测点分别位于网格参数为240的Reuter网格的节点上(Reuter 1982)。在图1中，它们显示为带有十字标记的黄色圆圈。有关此选择的更多信息，请参阅Slobbe等人(2019)。最后，使用RTM和谐波校正对所有数据集的地形信号进行校正(Forsberg and Tscherning 1981;赫克和塞茨2007)。

　　在这项研究中，我们采用了随机模型，以几种方式增强了当前的实践。首先，我们对Farahani等人(2017)中描述的雷达高度计数据集使用了全噪声VC矩阵。其次，我们为GGM数据集应用了一个全噪声VC矩阵，该矩阵是使用协方差传播定律从正则化和非正则化goco05正态矩阵中导出的，如Slobbe等人(2019)所解释的那样。第三，我们纳入了每个陆地重力数据集的偏差参数，并将133个统计上显著的偏差参数(显著性水平为5%)纳入最终的最小二乘调整中。该方法旨在解释陆地重力数据集中由于缺少大气校正、高度基准面不一致以及大气和漂移校正误差等问题而产生的系统和随机误差，特别是长波误差。第四，在计算RCR模型参数时，利用MINQUE MCVCE (Kusche 2003)估计每个观测组(即陆地重力异常、海洋重力异常、航空重力扰动、插值重力异常和基于高度计的沿轨高度异常)的方差因子。最后，在计算模型参数时，我们使用MINQUE VCE (Rao 1971)来估计两个粗尺度高度异常数据集的方差因子。

　　在所有其他情况下，我们使用对角噪声VC矩阵。对于部分陆地重力数据集，噪声标准差作为元数据信息的一部分，我们将其作为先验值。对于没有元数据信息的重力数据集和插值的重力数据集，我们将先验噪声标准差设置为保守值2 mGal。他们将RTM减少量视为确定性量。未来的研究可能希望将数字高程模型误差包括在简化数据集的随机模型中。McCubbine等人(2017)为此提供了一个框架。

　　图1

　　

　　地图显示高分辨率数据区、低分辨率数据集区域(黄虚线)、模型域(黑虚线)、模型域(红线)和数据点位置:地面重力异常(灰色)、机载重力干扰(蓝色)、船上重力异常(绿色)和雷达测高数据(青色)。标有十字的黄色大圆表示方程的评价点。(四)、(五)

　　图2

　　

　　荷兰82个GPS高度标记的几何和重力高度异常差异直方图(a, d);差异的地理再现(b, e)和重力高度异常的噪声标准差的地理再现(c, f)。RCR解决方案(上行)和组合解决方案(下行)。注意图(c)和图(f)中的不同颜色条。

　　图3

　　

　　在MINQUE VCE应用前，将低分辨率高程异常数据集的高程异常噪声标准偏差的地理再现和，输入粗比例尺模型参数向量的估计

　　图4

　　

　　高程异常噪声标准偏差的地理再现及其对RCR解和组合解的贡献。注意不同的颜色条

　　摘要

　　1 介绍

　　2 参数化和参数估计

　　3.协方差传播

　　4 数据集和随机模型

　　5 验证

　　6 Variance-covariance分析

　　7 讨论与结论

　　数据可用性

　　参考文献

　　作者信息

　　道德声明

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　　假设输入数据集的噪声VC矩阵是准确的，参数化误差是最小的，协方差传播规律保证了残差干扰势的噪声VC矩阵以及由此计算出的任意一组高度异常的噪声VC矩阵(如Eq.(13)的矩阵)是准确的。最大的参数化误差仅为几毫米，其标准差明显低于高度异常噪声的标准差(如Klees et al.(2017)所示)。然而，不可能验证输入数据集的噪声VC矩阵的准确性。为了评估在GPS高度标记处评估的高度异常的噪声VC矩阵是否被适当缩放，我们使用了荷兰的GPS找平数据。其基本思想是将观测到的重力高度异常和几何高度异常差异的标准差与重力高度异常、GPS椭球高度和水准高度的噪声VC矩阵得到的正式标准差进行比较。

　　图2的直方图显示了荷兰82个GPS高度标记的几何和重力高度异常之间的差异。RCR溶液的标准偏差为0.66 cm，组合溶液的标准偏差为0.95 cm。我们将这些值与从相应的噪声协方差矩阵计算的值进行比较。在GPS和水准网的平差过程中，我们发现GPS-椭球高度的噪声标准差约为0.5 cm，水准高度的噪声标准差在0.2 ~ 0.5 cm之间。因此，几何高度异常的形式噪声标准偏差在0.54 ~ 0.71 cm之间。GPS高度标记处重力高度异常的噪声标准偏差在0.07 ~ 0.44 cm (RCR方案)和0.80 ~ 1.10 cm(联合方案)之间(参见图2b, e)。基于这些图，几何和重力高度异常差的形式噪声标准偏差在0.54 ~ 0.71 cm (RCR方案)和0.97 ~ 1.31 cm(联合方案)之间。RCR溶液观察到的标准偏差0.66 cm正好在这个范围内，而组合溶液观察到的标准偏差0.95 cm略超出这个范围，但并不明显。这些结果表明，无论是RCR解还是组合解，高度异常的噪声VC矩阵都没有明显的标度误差。

　　图4提供了高度异常及其各个分量在粗尺度、细尺度和粗/细尺度相关性方面的噪声标准偏差的地理表示(显示的粗/细尺度相关性适用于组合解决方案)。表1给出了一些统计数据。在RCR解的高度异常噪声方差中，细尺度贡献占主导地位。平均而言，细尺度占噪声方差的一半，而粗尺度占其余的一半。相反，对于组合解，粗尺度占噪声方差的一半，而细尺度只占噪声方差的一半。此外，图4和表1表明，粗/细尺度相关性对组合解的噪声方差的贡献可以忽略不计，仅占噪声方差的约一半。

　　图4和表1中的高度异常噪声SDs说明了RCR与组合解之间的显著差异。具体来说，RCR解决方案的粗尺度噪声标准偏差要小得多，平均仅为0.07 cm，而组合解决方案的平均噪声标准偏差为0.96 cm。值得注意的是，进入粗比例尺模型参数向量估计的两个低分辨率高度异常数据集(来自低通滤波的RCR模型，见Eq.(4))和(来自低通滤波的goco05模式，见Eq.(5))在噪声标准差上已经存在较大差异。在使用MINQUE VCE之前，这些值的范围为0.03至0.13 cm, 2.36至2.67 cm(参见图3的地理表示)。MINQUE VCE缩放将数据集的噪声VC矩阵提高了509.9倍，导致噪声标准偏差现在在0.57到2.63 cm之间。相反，数据集的噪声VC矩阵被缩小了0.83倍，导致噪声标准偏差现在在2.15到2.43 cm之间。

　　表1感兴趣区域的高度异常噪声标准偏差(总数和贡献者)统计

　　图5

　　

　　Eq. (4) (a)和Eq. (5) (b)数据向量的自相关矩阵

　　为了更好地理解这一结果，重要的是要记住，两个数据集的设计矩阵是相同的和平方的(参见Klees et al. (2017)， Klees et al.(2018))。也就是说，如果参数向量的大小用N表示，则每个设计矩阵的维数为。如果两个数据集的噪声VC矩阵都是缩放单位矩阵，则VCE正态矩阵将是奇异的，从而无法估计两个数据集的方差因子(Amiri-Simkooei, 2007)。如果两个数据集的噪声VC矩阵都是对角线，并且沿对角线变化很小，则VCE法向矩阵是病态的(如Slobbe et al.(2019)所认为的)。事实上，VCE正常矩阵是条件良好的，允许我们估计两个方差因子，这是由于两个噪声VC矩阵的完备性。

　　我们还测试了其他VCE估计器，但得到的方差因子与MINQUE VCE提供的方差因子非常相似。因此，我们认为对VCE结果最可能的解释是两个数据集的噪声自相关矩阵的结构不同，如图5所示。从图中可以看出，与数据矢量相比，数据矢量的噪声自相关矩阵具有更多和更大的正噪声自相关和负噪声自相关，从而导致数据矢量相对于数据矢量的权重更大。然而，我们不能排除其他因素导致意外VCE结果的可能性，例如数据向量的先验噪声VC矩阵的条件数极高，这需要一些正则化才能获得合理的解决方案(如Klees et al.(2018)详细讨论)。不幸的是，据我们所知，目前没有可用的方法来验证这一点。

　　图6显示了RCR解和组合解的高度异常噪声自相关矩阵图，以及等角网格节点上粗、细尺度对应的高度异常噪声自相关矩阵图。重要的是……注意，这里的“粗尺度”是指低通滤波器P的通带，它是一个Tukey滤波器，其过渡带开始于球谐度150(相当于模式域中纬度约160 km的全波长)，结束于球谐度230(约110 km)。半功率点有效截止频率为球谐度180，对应于模型域中纬度约135 km的全波长。RCR解的自相关矩阵模式由精细尺度主导，如图6a和c所示，而组合解的自相关矩阵模式由粗尺度主导，如图6e和d所示。这种差异可归因于每个解的粗尺度和精细尺度之间的噪声方差大小不同。具体来说，RCR解决方案的细尺度与粗尺度噪声方差之比平均为4.4，而组合解决方案的平均值为0.02。此外，图6显示，组合解决方案的自相关性频繁切换其符号并缓慢下降，而RCR解决方案的自相关性振荡不强且快速下降。

　　图6

　　

　　等角网格节点高度异常的噪声自相关矩阵。自相关矩阵(a, d);粗尺度自相关矩阵(b, e);精细尺度自相关矩阵(c, f)。RCR解(上行)和组合解(下行)。注意，细尺度自相关矩阵对于RCR解和构造组合解是相同的

　　图7

　　

　　高度异常噪声的平均全向自相关函数(a)和放大距离从0到100公里(b)与散点(关于平均值)。RCR溶液(a, b)和复合溶液(c, d)

　　图8

　　

　　荷兰(a, c)和比利时(b, d)的均值全向自相关函数与均值的散点()。RCR溶液(a, b)和复合溶液(c, d)

　　通过计算自相关函数可以更详细地了解噪声自相关。图7a和图c分别显示了模型域上(图1中红框所示)的平均全向高度异常噪声自相关函数(MOACF)，以及RCR解和组合解的均值的-散点。与组合解相关的MOACF在0 ~ 100 km的距离范围内表现出正的自相关性，在更大的距离内表现出快速衰减的振荡自相关性。例如，超过220公里的距离，自相关性降至0.10以下。均值的散点反映了自相关的异质性和各向异性，从不超过均值。

　　RCR溶液的MOACF与组合溶液的MOACF有显著差异。特别是，自相关长度要短得多，约为17 km，而联合解决方案为67 km，并且在第二个零交叉点之外没有振荡。此外，与组合解相比，在100 km以下的距离上，平均值的散点明显更大，表明自相关性的非均质性和/或各向异性更强(见图7b)。

　　图9

　　

　　荷兰(a, c)和比利时(b, d)的高度异常差高于白噪声的噪声标准差百分比的减少，作为两点之间距离的函数。柱状图显示了平均值的散点()。RCR溶液(a, b)和复合溶液(c, d)

　　表2荷兰和比利时的高度异常差高于白噪声的噪声标准偏差百分比随两点距离的变化

　　也可以计算子区域的MOACFs。图8显示了荷兰和比利时的一个例子。与图7a和c的比较表明，它们与模型域内的MOACFs差异不大(图1中红框所示)。同样，荷兰和比利时的MOACFs非常相似，尽管图中显示第一个过零点的位置变化很小。对于荷兰来说，第一个零交叉点出现在110公里处(对于RCR和联合解决方案)，而对于比利时来说，它位于87公里处(对于RCR解决方案)和100公里处(对于联合解决方案)。此外，与荷兰相比，比利时的前两个零交叉点之间的负自相关性略大(对于RCR和组合解决方案)。

　　噪声的自相关性对gnss调平有影响，因为正值表明高度异常差的噪声标准偏差比白噪声低，反之亦然。图9分别显示了荷兰和比利时两地高度异常差的标准偏差在白噪声之上的百分比减少情况，这是两点之间距离的函数。该图显示，根据距离的不同，组合方案的噪声标准偏差显著降低，而RCR方案的噪声标准偏差降低较小。表2给出了所选距离的减少百分比。例如，荷兰的综合解决方案至少减少了不超过10公里的距离。这一降幅仍大于距离不超过40公里的降幅。在分别位于约100 km和230 km处的前两个零交叉口之间，由于负噪声自相关，存在轻微的退化，但不超过。比利时也得到了类似的结果。RCR解决方案显示出更小的减少百分比。例如，在荷兰上空，减少的距离仅为10公里和40公里。对比利时来说，削减幅度稍大，但与综合解决方案相比仍然很小。显然，使用goco05作为噪声数据集之一，再加上VCE赋予该数据集比高分辨率数据集更强的权重，使得组合方案比RCR方案具有更有利的噪声自相关函数。

　　我们也可以直接计算噪声标准差作为两点之间距离的函数，而不是将高度异常差中的噪声降低表示为百分比。图10提供了这种方法的一个示例。在荷兰上空，综合解决方案显示出非常低的噪音标准偏差，在几十公里的距离上只有几毫米。然而，它们随着距离的增加而增加，在大约70公里处达到1厘米以上。对于RCR解决方案，噪声标准偏差更小，距离小于80公里时不超过0.2厘米。比利时也得到了类似的结果。

　　图10

　　

　　荷兰(a, c)和比利时(b, d)与白噪声(红色)相比，高度异常差作为两点距离函数(蓝色)的平均噪声标准差(SD)。RCR解(a, b)和组合解(c, d)

　　我们对覆盖比利时和荷兰的两种区域类大地水准面模型(包括大陆、大陆架和瓦登群岛)的全噪声VC矩阵进行了分析。荷兰的官方准大地水准面模型是使用RCR技术从陆地、海洋和航空重力和雷达高度计数据中计算出来的。第二个模型使用与RCR模型相同的数据集，并使用仅卫星的GGM作为附加的噪声数据集。

　　对于RCR解决方案，我们发现模型域上的高度异常噪声标准差范围在0.03 cm到0.85 cm之间。精细尺度(即波长短于约110 km的中纬度地区)占噪声标准偏差的约1 / 3。组合方案的高度异常噪声标准差在0.53 ~ 1.58 cm之间。这里，粗尺度占主导地位，约占噪声标准偏差的一半。

　　分析表明，高度异常的噪声VC矩阵结构有利于gnss调平，尤其是组合解。由于高度异常噪声标准差为正自协方差，高度异常差异的噪声标准差明显小于预期。高度异常差的精度随着两点间距离的减小而提高。对于组合解决方案，我们在荷兰大陆上获得的距离小于10公里的标准偏差小于0.2厘米，距离小于40公里的标准偏差小于0.6厘米。我们还发现，在计算组合解时，使用GOCO05s卫星仅GGM作为噪声数据集之一会产生良好的正自协方差。

　　此外，我们观察到RCR解决方案提供了一个平均全向高度异常噪声自相关函数，其相关长度几乎缩短了四倍。当计算高度异常差时，正噪声自相关的好处不太明显。尽管如此，高度异常差的噪声标准差仍然小于组合解的噪声标准差。

　　拟大地水准面模型的全噪声VC矩阵的质量取决于各种因素，包括随机模型的质量，而这些因素无法得到验证。在我们的研究中，我们做出了巨大的努力，以确保所有涉及的数据集，特别是GGM数据集和雷达高度计数据集合理的VC矩阵。此外，我们通过偏差参数估计来解释陆地重力数据集的长波长系统误差和随机误差。我们使用VCE对陆地、海洋、航空、插值重力和雷达高度计数据集进行加权，并将它们与GGM数据集相结合。此外，我们在估计模型参数时严格遵循协方差传播规律。

　　在我们的随机模型中，最关键的简化是忽略了陆地和海洋重力数据集中现有的噪声相关性。这种遗漏可能会显著影响数据组合的结果，并为RCR和组合模型提供过于乐观的噪声VC矩阵。船上重力数据中的噪声很可能是由于漂移和E?tv?s修正误差、与陆地重力站连接误差以及交叉平差的使用而相关的。虽然目前还没有关于海洋点重力异常噪声相关性的研究，但已经有一些关于海洋平均重力异常噪声的研究。例如，Monka et al.(1979)分析了北海地区的平均自由空气重力异常，并报告了1000至2000公里距离上的误差协方差为3mgal。Weber和Wenzel(1983)分析了北大西洋、北海和地中海的平均自由空气海洋重力异常，并报告了误差协方差在距离100公里处超过5mgal，在距离1000公里处仍然是3mgal。在陆地重力数据中也可能存在噪声相关。然而，即使在陆地和海洋重力数据集中存在噪声相关模型，考虑到这些数据集的规模，在最小二乘平差中利用这些信息的数值复杂性是相当大的。

　　另一种增强随机模型的方法是考虑数字高程模型(DEM)中的任何误差和计算RTM约简时使用的质量密度。然而，如前所述，这些信息是否可以纳入最小二乘调整过程仍然不确定，因为它涉及所有数据集的噪声相关性，导致更大的数值复杂性。

　　由于两个原因，使用另一种提供全噪声VC矩阵的仅卫星GGM将改变结果。首先，它的噪声VC矩阵会与本研究中使用的不同。其次，陆地、海洋和航空重力和雷达高度计数据集与GGM数据集结合时使用的低通滤波器参数可能会发生变化。然而，对于任何使用卫星重力任务CHAMP、GRACE、GOCE和GRACE- fo数据的纯卫星GGM来说，与RCR解决方案相比，组合解决方案的高度异常噪声VC矩阵的有利结构很可能会持续存在。

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